a2－042 对整数1，2，3，…，10的每一个排列a₁，a₂，…，a₁₀，作和

|a₁－a₂|＋|a₃－a₄|＋|a₅－a₆|＋|a₇－a₈|＋|a₉－a₁₀|

数．求p＋q．

【题说】 第十四届（1996年）美国数学邀请赛题12．

【解】 差|a_i－a_j|有如下的45种：

这45种的和为1×9＋2×8＋3×7＋4×6＋5×5＋6×4＋7×3＋8×2＋9×1＝165．每一种出现的次数相同，而在和

|a₁－a₂|＋|a₃－a₄|＋|a₅－a₆|＋|a₇－a₈|＋|a₉－a₁₀|

中有5种，所以

a2－043 设正整数a、b使15a＋16b和16a－15b都是正整数的平方．求这两个平方数中较小的数能够取到的最小值．

【题说】 第三十七届（1996年）国际数学奥林匹克题4．本题由俄罗斯提供．

【解】 15a＋16b＝r²，16a－15b＝s²

于是

16r²－15s²＝16²b＋15²b＝481b                                     （1）

所以       16r²－15s²是481＝13×37的倍数．

由于0，±1，±2，±3，±4，±5，±6的平方为0，±1，±3，±4（mod 13），所以15≡2（mod 13）不是任一数的平方．因此，16r²≡15s²（mod 13）时，必有13|s．

同样，由于0，±1，±2，±3，±4，±5，±6，±7，±8，±9，±10，±11，±12，±13，±14，±15，±16，±17，±18的平方为 0，±1，±3，±4，±9，±12，±16（mod 37），所以必有 37|s．

于是481|s．由（1），481|r．

在r＝s＝481时，b＝（16－15）×481＝481，a＝（16＋15）×481＝31×481，满足15a＋16b＝r²，16a－15b＝s²．

所以所说最小值为481．

a2－044 设自然数n为十进制中的10位数．从左边数起第1位上的数恰是n的数字中0的个数，第2位上的数恰是n的数字中1的个数，一般地，第k＋1位上的数恰是n的数字中k的个数（0≤k≤9）．求一切这样的数n．

【题说】 1997年日本数学奥林匹克预选赛题 7．

【解】 设n的左数第k＋1位上的数字为n_k（0≤k≤9），则数字k出现的次数为n_k．因为n是10位数，所以

n₀＋n₁＋n₂＋…＋n₉＝10                                       （1）

又数字k若在左数第n_j＋1位上出现，则数字j在n中出现k次．n_k个k意味着有数字j₁，j₂，…，j_nk，共出现k_nk次．于是，又有

n_i＋2n₂＋…＋9n₉＝10                                         （2）

由（2）显然n₅，n₆，n₇，n₈，n₉，至多一个非零，且n₆，n₇，n₈，n₉均≤1．

若                          n₅＝n₆＝n₇＝n₈＝n₉＝0                                        （3）

则n₀≥5．于是n中至少有一个数字≥5，与（3）矛盾．所以n₅，n₆，n₇，n₈，n₉中有一个非零，其余四个为0．从而

n₁＋2n₂＋3n₃＋4n₄≤5                                        （4）

（4）表明n₁，n₂，n₃，n₄中至少有两个为0，从而n中0的个数不少于6，即n₀≥6．于是n₆，n₇，n₈，n₉中有一个为1，n₅＝0．

若n₉＝1，则n₀＝9，n₁≥1，这显然不可能．

若n₈＝1，则n₀＝8，n₁≥1，但无论n₁＞1或n₁＝1均不合要求．

若n₇＝1，则n₀＝7，n₁＝1或2，前者显然不合要求．后者导致n₂≥1，n₀＋n₁＋n₂＋n₇＞10也不合要求．

若n₆＝1，则n₀＝6，n₁＝2或3．n₁＝2时，n₂＝1，数6210001000满足要求．n₁＝3时，n₃＞0，n₀＋n₁＋n₃＋n₆＞10，不合要求．

综上所述，满足条件的10位数n只有6210001000．

a2－045 求所有的整数对（a，b），其中a≥1，b≥1，且满足等式a^b2＝b^a．

【题说】 第三十八届（1997年）国际数学奥林匹克题5．本题由捷克提供．

【解】 显然当a、b中有一个等于1时，（a，b）＝（1，1）．以下设a，b≥2．

设t＝b²/a，则由题中等式得到b＝a^t，at＝a^2t，从而t＝a^2t－1．如果2t－1≥1，则t＝a^2t－1≥（1＋1）^2t－1≥1＋（2t－1）＝2t＞t，矛盾．所以2t－1＜1．于是我们有0＜t＜1．

记k＝1/t，则k＝a/b²＞1为有理数，由a＝b^k可知

k＝b^k－2                                                                         （1）

如果k≤2，则k＝b^k－2≤1，与前面所证k＞1矛盾，因此k＞2．设k＝p/q，p，q∈n，p、q互质，则p＞2q．于是由（1）

q＝1，即k为一个大于2的自然数．

当b＝2时，由（2）式得到k＝2^k－2，所以k≥4．又因为

等号当且仅当k＝4时成立，所以得到a＝b^k＝2⁴＝16．

当b≥3时，＝b^k－2≥（1＋2）^k－2≥1＋2（k－2）＝2k－3．从而得到k≤3．这意味着k＝3，于是得到b＝3，a＝b^k＝3³＝27．

综上所述，满足题目等式的所有正整数对为（a，b）＝（1，1），（16，2），（27，3）．