显然有a＞1，所以a-b＞0，即a＞b．

　　10．由已知可解出y和z

　　因为y，z为非负实数，所以有

　　　　　　　　　　　u=3x-2y+4z

　　11.

　　所以商式为x²-3x+3，余式为2x-4．

　　12．小柱的路线是由三条线段组成的折线(如图1－97所示)．

　　我们用“对称”的办法将小柱的这条折线的路线转化成两点之间的一段“连线”(它是线段)．设甲村关于北山坡(将山坡看成一条直线)的对称点是甲′；乙村关于南山坡的对称点是乙′，连接甲′乙′，设甲′乙′所连得的线段分别与北山坡和南山坡的交点是a，b，则从甲→a→b→乙的路线的选择是最好的选择(即路线最短)．

　　显然，路线甲→a→b→乙的长度恰好等于线段甲′乙′的长度．而从甲村到乙村的其他任何路线，利用上面的对称方法，都可以化成一条连接甲′与乙′之间的折线．它们的长度都大于线段甲′乙′．所以，从甲→a→b→乙的路程最短．

　　13．如图1－98所示．因为oc，oe分别是∠aod，∠dob的角平分线，又

∠aod+∠dob=∠aob=180°，

　　所以 ∠coe=90°．

　　因为 ∠cod=55°，

　　所以∠doe=90°-55°=35°．

　　因此，∠doe的补角为

180°-35°＝145°．

　　14．如图1－99所示．因为be平分∠abc，所以

∠cbf=∠abf，

　　又因为 ∠cbf=∠cfb，

　　所以 ∠abf=∠cfb．

ab∥cd(内错角相等，两直线平行)．

　　由∠cbf=55°及be平分∠abc，所以

∠abc=2×55°=110°． ①

　　由上证知ab∥cd，所以

∠edf=∠a=70°， ②

bc∥ae(同侧内角互补，两直线平行)．

　　15．如图1-100所示．ef⊥ab，cd⊥ab，所以

∠efb=∠cdb=90°，

　　所以ef∥cd(同位角相等，两直线平行)．所以

　　 ∠bef=∠bcd(两直线平行，同位角相等)．①又由已知 ∠cdg=∠bef． ②

　　由①，② ∠bcd=∠cdg．

bc∥dg(内错角相等，两直线平行)．

∠agd=∠acb(两直线平行，同位角相等)．

　　16．在△bcd中，

∠dbc＋∠c=90°(因为∠bdc=90°)，①

　　又在△abc中，∠b=∠c，所以

∠a＋∠b＋∠c=∠a＋2∠c=180°，

　　17．如图1－101，设dc的中点为g，连接ge．在△adc中，g，e分别是cd，ca的中点．所以，ge∥ad，即在△beg中，df∥ge．从而f是be中点．连结fg．所以

s_△efd＝s_△bfg-sefdg=4s_△bfd-sefdg，

　　所以 s_△efgd=3s_△bfd．

　　设s_△bfd=x，则sefdg=3x．又在△bce中，g是bc边上的三等分点，所以

s_△ceg=s_△bcee，

sefdc=3x＋2x＝5x，

s_△bfd∶sefdc=1∶5．

　　18．如图1－102所示．

　　由已知ac∥kl，所以s_△ack=s_△acl，所以

　　即 　　　　　　　　　　kf=fl．

　　 ＋b₁=9，a+a₁=9，于是a+b+c＋a₁＋b₁+c₁=9＋9+9，即2(a十b＋c)=27，矛盾！

　　20．答案是否定的．设横行或竖列上包含k个黑色方格及8-k个白色方格，其中0≤k≤8．当改变方格的颜色时，得到8-k个黑色方格及k个白色方格．因此，操作一次后，黑色方格的数目“增加了”(8-k)-k=8-2k个，即增加了一个偶数．于是无论如何操作，方格纸上黑色方格数目的奇偶性不变．所以，从原有的32个黑色方格(偶数个)，经过操作，最后总是偶数个黑色方格，不会得到恰有一个黑色方格的方格纸．

　　21．大于3的质数p只能具有6k＋1，6k＋5的形式．若p=6k＋1(k≥1)，则p+2=3(2k＋1)不是质数，所以， p=6k＋5(k≥0)．于是，p＋1=6k＋6，所以，6｜(p＋1)．

　　22．由题设条件知n=75k=3×5²×k．欲使n尽可能地小，可设n=2^α3^β5^γ(β≥1，γ≥2)，且有

(α+1)(β+1)(γ＋1)=75．

　　于是α＋1，β+1，γ＋1都是奇数，α，β，γ均为偶数．故取γ=2．这时

(α+1)(β+1)=25．

　　故(α，β)=(0，24)，或(α，β)=(4，4)，即n=20·3²⁴·5²

　　23．设凳子有x只，椅子有y只，由题意得

3x＋4y+2(x+y)＝43，

　　即 5x+6y＝43．

　　所以x=5，y=3是唯一的非负整数解．从而房间里有8个人．

　　24．原方程可化为

7x-8y+2z＝5．

　　令7x-8y=t，t＋2z=5．易见x=7t，y=6t是7x-8y=t的一组整数解．所以它的全部整数解是

　　而t=1，z=2是t＋2z=5的一组整数解．它的全部整数解是

　　把t的表达式代到x，y的表达式中，得到原方程的全部整数解是

　　25．(1)第一个位置有8种选择方法，第二个位置只有7种选择方法，…，由乘法原理，男、女各有

8×7×6×5×4×3×2×1＝40320

　　种不同排列．又两列间有一相对位置关系，所以共有2×40320²种不同情况．

　　(2)逐个考虑结对问题．

　　与男甲结对有8种可能情况，与男乙结对有7种不同情况，…，且两列可对换，所以共有

2×8×7×6×5×4×3×2×1=80640

　　26．万位是5的有

4×3×2×1=24(个)．

　　万位是4的有

4×3×2×1=24(个)．

　　万位是3，千位只能是5或4，千位是5的有3×2×1=6个，千位是4的有如下4个：

34215，34251，34512，34521．

24+24＋6+4＝58

　　个数大于34152．

　　27．两车错过所走过的距离为两车长之总和，即

92＋84=176(米)．

　　设甲火车速度为x米/秒，乙火车速度为y米/秒．两车相向而行时的速度为x+y；两车同向而行时的速度为x-y，依题意有

　　解之得x=9(天)，x＋3=12(天)．

　　解之得x=16(海里/小时)．

　　经检验，x=16海里/小时为所求之原速．

　　30．设甲乙两车间去年计划完成税利分别为x万元和y万元．依题意得

　　所以甲共完成税利400+60=460(万元)，乙共完成税利350+35=385(万元)．

　　31．设甲乙两种商品的原单价分别为x元和y元，依题意可得

0.9x+1.2y=148.5， ③

　　由①得x=150-y，代入③有

0. 9(150-y)＋1.2y＝148. 5，

　　解之得y=45(元)，因而，x=105(元)．

　　32．设去年每把牙刷x元，依题意得

2×1.68＋2(x+1)(1+30％)=[2x＋3(x+1)]-0.4，

2×1.68＋2×1.3+2×1.3x＝5x＋2.6，

　　即 2.4x=2×1.68，

　　所以 x=1.4(元)．

　　若y为去年每支牙膏价格，则y=1.4＋1=2.4(元)．

　　33．原来可获利润4×400=1600元．设每件减价x元，则每件仍可获利(4-x)元，其中0＜x＜4．由于减价后，每天可卖出(400+200x)件，若设每天获利y元，则

　　y＝(4-x)(400+200x)

　　 ＝200(4-x)(2+x)

　　 =200(8＋2x-x²)

　 　=-200(x²-2x+1)＋200+1600

　　 =-200(x-1)²+1800．

　　 所以当x=1时，y_最大=1800(元)．即每件减价1元时，获利最大，为1800元，此时比原来多卖出200件，因此多获利200元．

　　34．设乙用x分钟追上甲，则甲到被追上的地点应走了(25+x)分钟，所以甲乙两人走的路程分别是0．4(25+x)千米和0．6x千米．因为两人走的路程相等，所以

0.4(25+x)=0.6x，

　　解之得x=50分钟．于是

左边=0.4(25＋50)=30(千米)，

右边= 0.6×50=30(千米)，

　　即乙用50分钟走了30千米才能追上甲．但a，b两镇之间只有28千米．因此，到b镇为止，乙追不上甲．

　　35．(1)设新合金中，含第一种合金x克(g)，第二种合金y克，第三种合金z克，则依题意有

　　(2)当x=0时，y=250，此时，y为最小；当z=0时，y=500为最大，即250≤y≤500，所以在新合金中第二种合金重量y的范围是：最小250克，最大500克．

　　(3)新合金中，含锰重量为：

x·40％＋y·10％+z·50％=400-0.3x，

　　而0≤x≤500，所以新合金中锰的重量范围是：最小250克，最大400克．