表面简单实际困难的素数问题

和素数有关的问题，许多是很容易明白的，表面看起来是不困难的，但解决起来都是很困难，下面我们举几个还未解决的问题说明：

（1）是否有无穷多素数是形如n²+2？

（2）是否有无穷多素数是形如n²+1？

（3）11和11 111 111 111 111 111 111 111，都是素数，它们分别可以写成（10²-1）÷9，和（l0²³-1）÷9，现在知道一个数（10^k-1）÷9是素数，则必须是k是素数。

反过来不一定成立，例如（10³-1）÷9=111=3×37，同样（10⁵-1）÷9也不是素数。

由于素数的个数有无穷多，因此是否形如（10^k-1）÷9的素数也是有无穷多个？

（4）读者请写下一个很长的自然数列1，2，3，4，…。然后对任何x＞1，在x和2x之间一定会找到一个素数。比方说你现在挑出x=4，你发现在4和8之间就有5和7这个素数，你多试验几次，每次都是有这个结果。

俄国19世纪的大数学家车比雪夫，证到了一个定理可以推到以上的结果。

好，我们现在看看一个类似的问题：我们把自然数列每一项取平方，我们得到1，4，9，16，25，…。我们发现到在1和4之间自然数列有二个素数2和3。在4和9之间自然数列有二个素数5和7，在9和16之间有二个素数11和13，在16和25之间有三个素数17，19，23。

因此你提出了这样的想法：对任意整数n，我们一定可以在n²和（n＋1）²之间找到一个素数。

这是数学上的一个难题，很早就有人提出了。可是到现在还没有全部解决。

（5）把自然数列排成下面的梯阶形：

4        5        6

7        8        9       10

11      12      13     14       15

16      17      18     19       20       21

…………………………………

等等。从第二阶开始，最初的几阶每一阶最少都出现一个素数。这种现象以后是否一直出现呢？很多人认为应该是这样。

（6）我们称满足代数方程x²+y²=z²的数组{x，y，z}为商高数组，商高数组一般是由{m²-n²，2mn，m²+n²}给出。这里m是大于n的整数。美国数学家i．a．barnett猜想存在有无穷多的m和n，它们的最大公约数是1，而使得x+y和x-y同时是素数。

今年初美国俄亥俄州大学的数学家利用电子计算机对m小于46000的情形检验，发现了许多有这样性质的商高数组，看来barnett的猜想是会对的，你不妨试试找出一个证明出来。

孪生素数问题

3和5这二个素数相差是2。读者很容易找到{5，7}，{11，13}，{17，19}，{29，31}等等素数对有这样的性质。

在数学里，数学家称这样的素数对为孪生素数（twinprimes）。有一个很出名的问题叫着“孪生素数猜想”，它是这样叙述的：存在着无穷多的n，使得n-1和n+1同时是素数。这问题提出有1000多年的历史了。

现知 n=4，6，12，18，30，…，1000000000062，140737488353700都给出孪生素数。现在知道在100万内有多于8000的孪生素数对。

欧拉发现如果对每个素数取倒数，然后再把它们全部加起来，这个和是无穷大。可是在1919年挪威数学家brun发现如取所有的孪生素数对的倒数的和，这个级数却是收敛的（conver-gent），即和是一个有限值。

我们类似素数函数π（x）定义一个孪生素数函数t（x），令x＞1，t（x）是定义为不超过x的所有孪生素数的个数。有人猜想存

目前最接近解决孪生素问题是由中国数学工作者陈景润得出。要介绍他的工作，我们先从一个著名的数学问题谈起。

哥德巴赫问题

歌德巴赫（c．goldbach 1690—1764）是德国数学家，他曾是俄国莫斯科学院的秘书。他和他的好朋友欧拉常通信讨论他们研究所发现的东西。在1742年6月7日哥德巴赫由莫斯科写了一封德文信给欧拉：“……我认为把一些可能对的命题，尽管是还不能证明写下来还是适合的。因为即使是以后发现它们是错误的，可是它们仍提供了发现新真理的机会。费马认为2^2n-1+1可以给出一序列的素数，事实上——如你所知——是错误的。然而这还是可贵，如果这序列供给了唯一表示二个整数平方和的数。因此我想冒险提出这样的猜想：任何数如果是二个素数的和，也是许多素数的和（1也算作素数），直到所有的和因子是1：*例如

[哥德巴赫]*：又当我在读这信时，我发现如果能对n证明而且n+1是能表示二个素数的和时则能对n+1也证明。证明是容易。最少看来所有大于1的数是三个素数的和。

欧拉在6月30日从柏林回信给哥德巴赫指出了：“任何数如能表示成二个素数的和，同时也可以表示成许多素数的和，这可以由你以前告诉我的一个观察结果：任何偶数是二个素数的和来证明出来。因为如果提出的数是偶数，则它是二个素数的和，而因为n-2也是二个素数的和，因此n是三个素数的和，因而是四个素数的和，依此类推下去。然而，如果n是奇数，则它明显是三个素数的和，因为n-1是二个素数的和，因此也可以分解成许多素数的和。然而所有的偶数是二个素数的和，我认为这是一个肯定的定理。尽管我还不能证明出来。”

事实上，哥德巴赫在以前的信提到了二个猜想：

（a）任何大于2的偶数是二个素数的和。

（b）任何大于5的奇数是三个奇素数的和。

如果（a）是对，（b）则很容易证明：

因为如果n是奇数，我们取一个小于n的奇素数p₁，则n-p₁是偶数，由（a）知道它是可以表示成p2+p3，因此n=p₁+p₂+p₃。

200年来这问题引起许多数学家的研究。哥德巴赫的猜想看来不难验证，如：

6=3+3 8=3+5 10=3+7 12=5+7 14=3+11 16=3+1318=5+13 20=3+17以及40=3+37=11+29=17+23等等。

有人曾对十万以下的偶数检验都发现哥德巴赫的猜想是对的。可是怎样对所有的偶数证明呢？

在1937年苏联数学家维诺格拉朵夫（i．vinogradov）用分析方法证明了：对于相当大的奇数，是可以表示成三个奇素数的和。因此对于哥德巴赫猜想（b）这是最好的结果。

中国数学家在这方面的研究

目前最接近解决哥德巴赫猜想（a）是由中国数学家陈景润获得。他是福建省福州人，是中国解放后厦门大学数学系的第一届毕业生。解放前他父亲是邮局职员，一家七口*那点微薄的公务员薪水，有时不得温饱，他高中未毕业就失学在家。新中国成立后他才有机会继续读书。

他从厦大毕业后，就留在原校工作。在两年的业余时间，对数论非常兴趣，阅读了华罗庚大部份的著作，第三年提出一篇关于“tarry问题”的论文，对华罗庚在堆垒素数论的研究成果有一些推进。

在1957年，他在华罗庚的提拔下调到北京科学院数学研究所工作，在这里他有机会从闵嗣鹤教授、吴方、王元、潘承洞等学习到了一些新的理论。

匈牙利数学家renyi最先证到（那是1948年的事了）任何充份大的偶数可以表示成1个素数和几个素数乘积的和。

在1962年年青数学家潘承洞证明了充份大的偶数可以表示成一个素数和一个最多有五个素数乘积的整数的和。

王元和潘承洞在1962年和1963年更进一步证明了充分大的偶数可以表示成一个素数和一个最多有四个素数乘积的整数的和。

陈景润在1963年才开始对哥德巴赫问题做研究。他为了解决这个问题夜以继日的研究，甚至假日也不休息。不论是酷热的炎夏，还是严寒的隆冬，他都埋头在图书馆做这研究。在1966年取得初步成果论证了充份大的偶数都是由一个素数再加上另一个整数，这整数最多由二个素数相乘得到。这结果在《科学通报》发表了一个简单证明。那时他才32岁。

在1965年意大利杰出的青年数学家e．bombieri（他在1974年获得世界数学家会议颁给的field金奖章，因为他在几何以及数论方面的成就。）只证到任何充分大的偶数是一个素数和一个最多能表示成三个素数乘积的整数和。

记者访问陈景润，他说：“在1973年我在《中国科学》正式发表了题为：《大偶数表为一个素数及一个不超过二个素数的乘积之和》的论文。这是我研究的成果论文，它接近了哥德巴赫猜想，如果求证到另一个数也是素数，那就完全证实了歌德巴赫的猜想，要达到这一步还要继续努力。”

不久前陈景润还出席了全国第四届人民代表大会。陈景润的工作在数论是非常重要，他同时接近解决了数论二大难题：孪生素数和哥德巴赫问题。最近英国数学家哈伯斯坦（ha berstram）在他新写的《筛法》一书，特别一章专门讲陈景润的定理。

看到年轻一代的数学家在数论方面的成就，我们不要忘记了老一辈的数学家如华罗庚、闵嗣鹤等教授的功劳。第一代的数学前辈披荆斩棘闯出了一条路来，而第二代的数学家发扬前辈大无畏的精神敢于攀登科学高峰，获得了一些优秀成绩。

在外国一些认识华罗庚工作的人，由于个人主义的想法常常为他惋惜——不能继续搞深的数学，而做普及“简单”数学教育的工作。可是他们哪里知道：“一枝吐放不是春，万紫千红才是春。”华罗庚等人长期来苦心孤诣，不辞劳苦到处做普及数学教育的工作，使广大群众能早日掌握到“打开科学大门的锁钥”——数学这门知识。随着老中青三结合的政策的实行，第三代的年青数学工作者将迅速茁长，在这种情况下：“天公亦喜凌霄志，不拘一格降人材。”在不远的将来，肯定中国人民在数学上将会和几千年来祖先在这领域一样有着辉煌的成就。

“待到山花烂漫时，她在丛中笑”这日子是不远了。